Regra de Três

O processo matemático conhecido por regra de três recebe esse nome, pois ele relaciona 3 fatores.  

Mas o que seriam esses fatores?Esses fatores são grandezas. Se elas tiverem entre si alguma relação de  proporcionalidade, podemos então usar a regra de três, nesse caso também chamada de regra de três simples.

Antes de aprofundarmos o assunto, vamos definir o que seria essa proporcionalidade.

Grandezas que estão relacionadas entre si por uma relação de proporcionalidade, isso significa que duas grandezas diferentes se comportam uma de maneira proporcional a outra, em outras palavras, uma influencia a outra. 

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Vejamos um exemplo:

Uma empresa produz dez peças, de um determinado tipo, a cada uma hora. 

Notem que existem duas informações básicas, peças são produzidas e o tempo avança. Se dez peças são produzidas em uma hora, em duas horas teremos mais peças que antes, nesse caso teríamos vinte peças.

Se se passasse três horas do início, teríamos ainda mais peças, trinta nesse caso.

Avançar o tempo faz com que a quantidade de peças produzidas aumentem, isso porque as duas grandezas estão relacionadas entre si, elas são proporcionais, quando uma aumenta a outra aumenta também.

Vale lembrar que se uma delas diminuir, a outra deverá diminuir também.

No exemplo, produzem-se dez peças por hora, em meia hora somente será produzido cinco peças, pois o tempo foi reduzido pela metade, então também a quantidade de peças.

As grandezas podem ainda ser relacionadas de maneira inversa, sendo nesse caso chamadas de  inversamente proporcionais, ou seja, a maneira como uma se altera afeta a outra, porém de maneira inversa.

Analisem um exemplo, um reservatório cheio de água de 100L está com um furo, e sabe-se que a água vaza 1 litro para fora do recipiente a cada hora. 

Temos novamente duas relações, a quantidade de água no reservatório e o tempo. Percebam agora, a medida que o tempo passa a quantidade de água dentro do reservatório diminui. Isso é uma relação inversa, uma grandeza aumenta e a outra diminui.

Agora que está devidamente explicado, vamos continuar.

Como vocês podem ter notado, as grandezas são relacionadas entre si e portanto são bastante simples de se prever, pois sempre se repetem.

Observem no primeiro exemplo: 10 peças a cada 1 hora

Na primeira hora: 10 peças      ( Total 10)
Na segunda hora: 10 peças      ( Total 20)
Na terceira hora: 10 peças       ( Total 30)
              (.......)                           (.......)

A cada hora, aumenta 10 peças ao total, assim podemos com facilidade prever o resultado das próximas horas, pois elas aumentam seguindo uma relação, uma multiplicação.

Y x Horas = 10 x Y Peças

Substituindo o Y pela quantidade de horas obtém-se a quantidade de peças produzidas.

1 Hora = 10 x 1 Peças
2 Horas = 10 x 2 Peças -- 2 Horas = 20 Peças
3 Horas = 10 x 3 Peças -- 3 Horas = 30 Peças

Se quiséssemos saber quantas peças são produzidas em 5 horas,

5 Horas = 10 x 5 Peças -- 5 Horas = 50 Peças

Valendo para todos os casos,

0,5 Hora = 10x0,5 Peças --  0,5 Hora = 5 Peças

Ou podemos ainda tornar mais simples:
Escrevemos primeiro a relação que temos e após ela a relação que queremos porém com incógnitas, observem:

1 hr -- 10 Peças
x hr --  y  Peças

Para explicar melhor, vamos escolher outro exemplo:

Uma pessoa anda 1 km em duas horas, quantas quilômetros ela vai andar em 4 horas?
Temos uma relação,  para 1km temos 2 horas, sendo assim:

 1km    -    2hrs

E agora para 4 horas? Mesma situação, com um diferencial, agora um valor é desconhecido e chamaremos ele de 'x'. Temos:

x km - 4hrs

Agora juntamos as duas linhas que escrevemos.

1 km  -  2 hrs
x km  - 4 hrs

Para descobrimos o valor de 'x' faremos uma multiplicação cruzada.


 

Encontramos duas expressões, agora é só iguala-las:
 

(Na segunda linha, foi feito a divisão de 4 por 2, e também a divisão da unidade 'hrs': 4hrs dividido por 2 hrs, deu o resultado 2 sem a unidade Colocando apelas o km, que não se alterou). 




Pronto a resposta para essa questão é o valor do 'x', que no caso foi de 2 km.
*Apenas um detalhe, é mais fácil fazer as contas com as unidades de medida (km e hrs),  porque você saberá ao final da conta que valor foi aquele que você encontrou. Pode sim fazer sem elas, também dará certo, mas com unidades você não irá confundir nenhum valor.  

Viram, muito simples. Apenas duas grandezas envolvidas na situação, dessas temos três dados. Usando a regra de três simples podemos descobrir o quarto dado que falta.

No caso de relações inversas podemos transformar ela em uma relação direta. Observem no exemplo do vazamento de água, ao invés de olhar para a quantidade de água que sobrou dentro de reservatório, vamos olhar para a quantidade de água que vazou. Assim, a cada 1 hora 1 litro de água vaza. Ficando novamente uma relação direta, e assim podendo usar o método que usamos anteriormente. 

Não podendo esquecer de um detalhe importante, isso que expliquei é 'um truque'. Ao pensar em quantos litro de água estão vazando eu ignoro a quantidade de água que ainda há dentro do recipiente. Portanto pode sim pensar dessa forma, mas se o interesse for saber sobre o que resta de  água dentro, basta fazer uma subtração entre o que tinha anteriormente e o que vazou.

Exemplificando, ao se passar três horas, três litros de água vazaram para fora do recipiente: 100 L (Inicialmente) - 3 L (vazaram) = 97 L 

Portanto, após três horas, ainda restam 97 L de água dentro do reservatório

O método usado pode variar de acordo com a necessidade, se ao invés de perguntar quantos quilômetros serão percorridos, poderia-se perguntar quantas horas gastaria. Veja, em quanto tempo essa mesma pessoa percorre 2km?

Vamos direto para o método

1 km  -  2 hrs
2 km  -  x hrs

Resolve-se da mesma forma

Também, deu para comprovar que nosso calculo anterior estava correto. Acabamos de tirar a Prova real

Mas tem como ficar mais complicado? O legal da matemática, é que sempre pode ficar mais difícil.

Ex.: Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em uma caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12 torneiras despejarão 12.000 litros de água?

E agora, tenho 3 grandezas envolvidas, a quantidade de torneiras, as horas e os litros de água. Será que podemos fazer da mesma maneira que antes? A resposta, não podemos.

Usaremos nesse caso A Regra de Três Composta. (Bem fácil de entender porque é composta, pois, possui mais grandezas que a Simples).

 O primeiro passo é fazer a tabelinha com os valores que temos(Colocando a informação que precisamos descobrir a esquerda):

Horas      | Torneiras     | Litros de Água|
|  10                  6               10.000           |
|   x                  12              12.000           |

Agora pensaremos, o número de torneiras aumentou, logo o número de horas para encher a caixa vai diminuir. Resumindo, uma aumenta e a outra diminui. Como essas duas grandezas estão relacionadas, dizemos que elas são inversamente proporcionais. E quanto  aos litros de água, eles aumentam, então as quantidade de horas necessária para enche-las aumentará também, essas são chamadas de diretamente proporcional.

(Percebam uma coisa, eu analisei as grandezas de duas em duas, comparei número de torneiras e horas, e depois litros de água e horas. O segredo é, a informação que eu precisamos descobrir é 'horas', então comparamos as outras informações justamente com essa informação que queremos descobrir).

E agora vamos colocar um 'i' onde for inversamente prop. e um 'd' onde for diretamente prop.

Horas      | Torneiras    | Litros de Água|
|  10                  6              10.000           |
|   x                  12  i           12.000   d     |

Agora vamos resolver:
Onde tivermos um 'i', vamos inverter a fração e onde tivermos um 'd' não faremos nada. 

Horas      | Torneiras    | Litros de Água|
|  10                 12             10.000           |
|   x                   6              12.000           |

E agora na hora da multiplicação, faremos assim, pegaremos o valor que queremos descobrir, igualamos ele com a multiplicação das outras informações que temos:

  

*Esse exercício foi resolvido sem as unidades de medidas, mas viram, mesmo assim deu certo, só que no final o valor de 'x' foi 6, e não havia nenhum indício do que significava esse valor, se você não estivesse atento para saber que são horas, poderia errar.

*Somente é possível usar esse método de regra de três, se o problema se comporta como uma Função de Primeiro grau  , ou seja, se o problema for linear, como no exemplo da pessoa caminhando, ela andava 1km em 2 horas, 2km em 4 horas, 3km em 6 horas. 

Conforme a distancia dobra, o tempo dobra também. 

Agora tem casos em que as grandezas se comportam de maneira diferente. Observem um exemplo. 

Uma célula se divide em duas a cada uma hora. Quantas células existirão em 3 horas? 

Veja:

2c -  1hr
x    - 3hr 

Pelo método, a resposta deveria ser 6 células.
Mas vamos fazer passo a passo. 

1 hora - 2 células 
2 horas - 4 células   
3 horas - 8 células 

Isso ocorre porque no momento em que uma célula de divide em duas, isso é, na primeira hora, não muda nada dos nossos problemas anteriores, porém, a partir da segunda hora, não é apenas uma célula que vai se dividir, são duas e cada uma vai se dividir em duas novas, na terceira hora serão quatro células e cada uma delas se dividirá em duas, formando assim oito células. 

Casos em que o passar do tempo afeta a ideia básica do exercício não podem ser resolvidos por regra de três, elas se resolvem em Equações do Segundo Grau. 

Questão para treinar: Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, João recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia, quantos dias ele deverá trabalhar para receber R$ 2 700,00? 

(Resposta : 29 )